Intégrale de \( \tan^3(x) \)

Dérivation et évaluation

Calculez l'intégrale :

\[ \int \tan^3(x) \, dx \]

Écrivons l'intégrande \( \tan^3(x) \) sous la forme du produit \( \tan x \tan^2 x \) :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \tan^2 x \, dx \]

Utilisez l'identité trigonométrique \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \) pour écrire l'intégrale comme suit :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x (\sec^2 x - 1) \, dx \]

Développons l'intégrande et réécrivons l'intégrale sous la forme d'une différence d'intégrales :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int \tan x \sec^2 x \, dx - \int \tan x \, dx \]

Utilisez l'intégration par substitution dans \( \displaystyle \int \tan x \sec^2 x \, dx \) : posons \( u = \tan x \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) ou \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} \, du \). En substituant ceci, on obtient :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \sec^2 x \left(\dfrac{1}{\sec^2 x}\right) du - \int \tan x \, dx \]

Simplifions l'expression :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \int u \, du - \int \tan x \, dx \]

Évaluons en utilisant les formules d'intégrales standard \( \displaystyle \int u \, du = \dfrac{1}{2} u^2 \) et l'intégrale courante \( \displaystyle \int \tan x \, dx = \ln|\sec x| \) :

\[ \int \tan^3(x) \, dx = \dfrac{1}{2} u^2 - \ln|\sec x| + c \]

où \( c \) est la constante d'intégration.

Revenons à la variable initiale en remplaçant \( u = \tan x \) pour obtenir la réponse finale :